塞瓦定理的证明及其应用

塞瓦定理的证明及其应用

塞瓦定理是指在三角形内任取一点O（图1），延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则有

BD/DC·CE/EA·AF/FB=1。

证明方法一（面积法）：

根据燕尾定理（图2）得：

BD/DC=S△ABO/S△ACO；

CE/EA= S△BCO/S△ABO；

AF/FB= S△ACO/ S△BCO。

故BD/DC·CE/EA·AF/FB

= S△ABO/S△ACO·S△BCO/S△ABO·S△ACO/ S△BCO=1。

证明方法二（平行线法）：

过点A作MN∥BC（图3），可得下列几组相似三角形及成比例线段：

1. △AON∽△DOB，△AOM∽△DOC，则

AN/BD=AO/DO=AM/DC,即

BD/DC= AN / AM。

1. △AMF∽△BCF，AF/FB=AM/BC。
2. △ANE∽△CBE，CE/EA=BC/AN。

故BD/DC·CE/EA·AF/FB

= AN / AM·BC/AN·AM/BC

=1。

使用塞瓦定理可以进行线段长度比例的计算及线段等量关系的证明，现举例如下。

题目1：如图4，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，AD、BE、CF相交于点O，若BD/DC=2/3，AE/CE=5/3，则AF/BF的值为（5/2）。

解题思路：题目已知：BD/DC=2/3，AE/CE=5/3，即CE/EA=3/5。根据塞瓦定理有：

BD/DC·CE/EA·AF/FB=1，将上述2个比值代入得：

2/3 x3/5 AF/FB=1,

AF/FB=5/2。

题目2：如图5，AD是锐角△ABC的边BC上的高，H是AD上一点，连接BH、CH并延长分别交AC、AB于E、F。求证：∠EDH=∠FDH。

解题思路：该题含塞瓦定理的基本图形，构造平行线可出现相似三角形，且与塞瓦定理的三个关键点D、E、F一定要建立某种联系。

过A点作底边BC的平行线，延长CF、CE分别交该平行线于P、Q，显然DA⊥PQ，题目欲证∠EDH=∠FDH，即∠QDA=∠PDA，如能证明PA=AQ就大功告成。

因PQ∥BC可得到2组含塞瓦定理各线段及PA、AQ的相似三角形及其线段比例关系：

1. △APF∽△BDF，PA/BD=AF/FB,

PA=BD ( AF/FB);

(2) △AEQ∽△CED，AQ/DC=EA/EC,

AQ=DC (EA/EC)。

根据塞瓦定理：BD/DC·CE/EA·AF/FB=1，稍加变形得：BD ( AF/FB) =DC (EA/EC)，则

PA=AQ。

易证Rt△ADP≌Rt△ADQ

故∠EDH=∠FDH成立。

该题证明方法奇妙，很有借鉴价值。