电容的公式推导（三大基本变换器公式详细推导）

首先要讲到电容的基本公式：

电容器上所储存的电荷与施加于电容器上的电压成正比，有：

q=Cv

C为比例常数，称为电容器的电容（capacitance）,单位法拉（farad,F）,电荷运动产生电流，用数学表示为i=dq/dt 电流的单位为安培。

对q=Cv两边取微分得：

i=Cdv/dt

根据对偶原理得：

v=Ldi/dt

对于给定的时间增量或减量（v,i为常量，对于恒定的全部更改为大写的V,I）

基本概念：

对于一般方波功率变换，总有在开关导通器件施加一个恒定电压（Von）,而在关断器件自动得到另一个恒定电压（极性相反，幅值为Voff）,这将形成分段线性电流.其幅值为上面对偶的到的公式

电流取一个变化量得：

Von=L*△Ion/ton 推导出△Ion= Von*ton/L

Voff=L*△Ioff/toff 推导出△Ioff= Voff*toff/L

整体电流和电压波形可以重复，电路才工作于稳态。（关键概念）

即：开通和关闭期间电流的变化量必须相等（△Ion=△Ioff）

即可得伏秒法则：Von* ton= Voff* toff

以下的公式推导只针对于CCM变换器

首先要几个基本公式:

f为开关频率

周期为T同时有T=1/f ton+ toff=T

D为占空比定义为ton /T 即ton=D*T

Toff=T- ton=T-D*T=T*(1-D)

BUCK变化器的基本原理图：

Q导通时，不记其管压降，L上的电压为Vin-Vout 记为电感电压Von

Q关闭是，D导通，忽略二极管压降，即二极管对地是等电位的，L两端的电压为Vout ，记为电感电压Voff，这时电压与输出电压同一极性。

根据伏秒定律：

Von* ton= Voff* toff

其中：Von=Vin-Vout

Voff= Vout

ton=D*T

Toff=T*(1-D)

代入上式得：

（Vin-Vout）* D*T= Vout* T*(1-D)

（Vin-Vout）* D= Vout*(1-D)

（Vin-Vout）/ Vout = (1-D)/D

（Vin-Vout）/ Vout +1= (1-D)/D+1

通分得：（Vin-Vout+ Vout）/ Vout = {(1-D)+D}/D

Vin/ Vout = 1/D

D= Vout/ Vin

BOOST基本原理图：

Q导通时，不记其管压降，即Q对地是等电位的,L上的电压为Vin， 记为电感电压Von

Q关闭时，忽略D的压降，这时就一个节点就有Vin+Voff=Vout 即Voff= Vout-Vin

根据伏秒定律：

Von* ton= Voff* toff

其中：Von=Vin

Voff= Vout- Vin

ton=D*T

Toff=T*(1-D)

代入上式得：

Vin* D*T=（Vout- Vin）* T*(1-D)

Vin* D=（Vout- Vin）*(1-D)

Vin/（Vout- Vin）=(1-D)/D

Vin/（Vout- Vin）+1=(1-D)/D+1

通分得：{Vin+ Vout- Vin }/（Vout- Vin）={(1-D)+D}/D

D= (Vout- Vin)/ Vout

BUCK-BOOST变换器基本原理：

Q导通时，不记其管压降，同一个节点,L上的电压为Vin， 记为电感电压Von

Q关闭时，忽略D的压降，电感电压即输出电压，记为Voff= Vout，但是要注意这个电压于输入电压极性相反。这也是个主要特征。

根据伏秒定律：

Von* ton= Voff* toff

其中：Von=Vin

Voff= Vout

ton=D*T

Toff=T*(1-D)

代入上式得：

Vin* D*T=Vout* T*(1-D)

Vin* D=Vout*(1-D)

Vin/ Vout = (1-D)/D

Vin/ Vout +1= (1-D)/D+1

通分得：

(Vin+ Vout )/ Vout = {(1-D)+D}/D

D= Vout/(Vin+ Vout )